数学九章
十八卷。宋秦九韶(生卒年不详)撰。秦九韶字道古，生活在南宋宁宗(1195－1224)、理宗(1225－1264)年间，他自称鲁郡(今山东滋阳、曲阜一带)人。其父秦季槱，嘉定中任巴州(四川巴中)守，后因兵变弃城而去至临安，先后任工部郎中和秘书少监，1225年调潼川知府。秦九韶幼年随父，颇得薰陶，并于工部及秘书省习得甚多，“早岁侍亲中都，因得访习于太史，又尝从隐君子受数学。”(《数书九章》自序)随父回到四川后，先在乡里为义兵首，后任某县县尉。端平三年(1236)元兵入川，“际时狄患，历岁遥塞，不自意全于矢石间，尝险罹忧，荏苒十祀，心槁气落，信知夫物莫不有数也。”(自序)淳祐四年(1244)以通直郎为建康(今南京)通判，是年丁母忧解官归湖州守孝三年，他主要从事数学研究，于1247年完成《数书九章》。该书原名《数术大略》(或《数学大略》)九卷，后经辗转传抄，至明万历年前演为《数书九章》十八卷，大典本与库本仍称《数学九章》。全书十八卷约二十万字，作者自序称：“窃尝设为问答以拟于用，积多而惜其弃，因取八十一题厘为九类，立术具草，间以图发之。”八十一个应用数学问题分九类，每类九题。其九类为：一、大衍类：一次同余式问题；二、天时类：有关历法推算、降雨雪量计算；三、田域类：各种田亩的面积计算问题；四、测望类：勾股重差问题；五、赋役类：“均输”及税收计算等问题；六、钱谷类：粮谷转运及仓库容积问题；七、营建类：土木建筑工程问题；八、军旅类：营盘布置及军需供应等问题；九、市易类：粮谷、布匹交易及利息计算等问题。八十一问虽无题号，但于每问之前冠以四字的题名，每问之后有答，答后有术，术后有草，有的草后配有算图或示意图。其体例继承《九章》，所用之术，大都出于《九章》，但其设问之复杂、推算之精巧则超过《九章》。如营建类“计定城筑”题已知数据达八十八个，赋役类“复邑修赋”题答案竟有一百零八条。《数书九章》中最为突出的内容有“大衍总数术”与“正负开方术”，代表了当时中国乃至世界数学的最高成就。为计算“上元积年”寻找完整的算法，秦九韶推广了“孙子定理”，创立了一般性的一次同余式组的科学解法。求乘率是这一算法的关键，“大衍求一术”就是求乘率的算法：首先化问数为定数，诸定数连乘积是为衍母，再以各定数除衍母得衍数，以定数累减衍数得奇数，再对奇数和定数辗转相除可得乘率。为使问题更具有一般性，秦九韶分列了问数为元数、收数、通数和复数四种情况。这一算法被称为“中国剩余定理”而举世闻名。“正负开方术”即高次方程的数值解法，在全书中有二十一个题由方程求解，并给出二十六个方程，其中最高次数已达十次。在贾宪、刘益等人工作基础上，秦九韶规定“实常为负”，其他各项系数不限正负，其具体解法步骤与贾宪“增乘开方法”基本一致，也是在议得根的每位数后都要随乘随加。他还讨论了运算过程中的“换骨”(在进行变量代换后常数项变号)、“投胎”(常数项绝对值增大)的情形。当根不为整数时，他采取了“进退开除”、“命分”等方法处之，在二项方程解法中引进了倍根变换。《数书九章》中有些问题相当于解线性方程组，如缀术推星、推求物价、均货推本等题谓“以方程求之”。方程为《九章算术》之一，其解法用直除法，秦九韶对此作了彻底改进，采用互乘相消、代入法，方法相当于增广矩阵的初等变换，与现在解多元一次方程组方法基本相同。秦九韶还对《九章算术》中的解题方法作了发展，比如在互易推本、菽粟互易、宽减屯租等题中给出了一种“雁翘算法”，这是对《九章》今有术的发展，可用于比较复杂的比例问题中。又如计造军衣题是盈朒、两盈、一朒一足三个问题构成，秦九韶给出了被后世算家称为“双套盈朒”的解法，是对《九章》盈不足术的发展。此外，他还解决了“三斜求积”问题，即已知三角形的三边求其面积。这与古希腊的海伦公式是等价的。数学内容外，《数书九章》还反映出南宋时代的社会经济、文化、科技和建筑营造各方面的内容，是一部划时代的巨著，标志着中国古代数学的顶峰。明《永乐大典》辑录了这一巨著；清四库馆员又加校订收入《四库全书》。道光二十二年(1842)郁松年将其收入《宜稼堂丛书》，得以在民间广为流传。受秦氏影响，在清代有不少著作问世：焦循《开方通释》(1801)、《大衍求一释》；张敦仁《求一算术》(1803)、《开方补记》(1804)；骆腾凤《开方释例》(1815)；时曰醇《求一术指》(1873)；黄宪宗《求一术通解》(1871)。近代对《数书九章》研究不乏其人：傅种孙《大衍术》(1920)、钱宝琮《求一术源流考》(1921)、李俨《大衍求一术之过去与未来》(1925)；1966年出版了《宋元数学史论文集》，1987年吴文俊主编《秦九韶与〈数书九章)》标志研究的新阶段。该书版本除大典本与库本外，有经宋景昌校勘的《数书九章》，由郁松年刻入《宜稼堂丛书》；后邹安鬯对宋校本再校，于1898年刘铎收入《古今算学丛书》；1936年出版的《丛书集成初编》、《国学基本丛书》同时收入秦书的宜稼堂本；八十年代台湾省出版了影印本。主要抄本有三：现存中科院自然科学史研究所的李俨藏本；北大图书馆藏的盖有李盛铎印的红格抄本；北京图书馆藏的王萱龄抄本。